Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0），N（4，0）的距離之比為

1

2

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+3與曲線W交于A，B兩點(diǎn)，在曲線W上是否存在一點(diǎn)Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

，若存在，求出此時(shí)直線l的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），再由M和N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出|PM|及|PN|，由距離之比為

1

2

列出關(guān)系式，整理后即可得到動(dòng)點(diǎn)P軌跡W的方程；
（Ⅱ）由第一問得到的W軌跡方程為圓心（0，0），半徑為2的圓，且直線l與圓交于兩個(gè)，得到圓心到直線l的距離d小于半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，假設(shè)存在Q點(diǎn)，使得

OQ

=

OA

+

OB

，又A和B再圓上，利用由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OAQB為菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分且垂直，得到OQ與AB互相垂直且平分，可得出原點(diǎn)到直線l的距離等于|OQ|的一半，即為半徑的一半，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，經(jīng)檢驗(yàn)符合k的范圍，故存在點(diǎn)Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

，．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），依題意得：

|PM|

|PN|

=

1

2

，
又M（1，0），N（4，0），
∴2

(x-1)2+y2

=

(x-4)2+y2

，
化簡(jiǎn)得：x²+y²=4，
則動(dòng)點(diǎn)P軌跡W方程為x²+y²=4；                       
（Ⅱ）∵直線l：y=kx+3與曲線W交于A，B兩點(diǎn)，且W軌跡為圓心為（0，0），半徑r=2的圓，
∴圓心到直線l的距離d=

3

1+k2

＜r=2，即k²＞

5

4

，
解得：k＞

5

2

或k＜-

5

2

，
假設(shè)存在點(diǎn)Q點(diǎn)，使得

OQ

=

OA

+

OB

，
由A，B圓上，且

OQ

=

OA

+

OB

，
利用向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OAQB為菱形，
∴OQ與AB互相垂直且平分，
∴原點(diǎn)O到直線l：y=kx+3的距離為d=

1

2

|OQ|=1，即

3

1+k2

=1，
整理得：k²=8，
解得：k=±2

2

，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，
則存在點(diǎn)Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，菱形的判定與性質(zhì)，以及向量在幾何中的運(yùn)用，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．