Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，a∈R．

（1）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，求a的值；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值；

（3）當(dāng)a=﹣1時(shí)，關(guān)于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），所以f′（x）=﹣a=．    

因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．

經(jīng)檢驗(yàn)，a=1符合題意．（不檢驗(yàn)不扣分）      

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．

令f′（x）=0得x=．因?yàn)閤∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，

①當(dāng)0＜≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時(shí)，f（x）取最大值f（1）=﹣a；

②當(dāng)1＜＜2，即＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，）上遞增，在（ ，2）上遞減，

所以x=時(shí)，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；

③當(dāng)≥2，即0＜a≤時(shí)，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時(shí)，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．

綜上，①當(dāng)0＜a≤時(shí)，f（x）最大值為ln2﹣2a；②當(dāng)＜a＜1時(shí)，f（x）最大值為﹣lna﹣1；

③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）最大值為﹣a．      

  （3）因?yàn)榉匠?mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，

所以x²﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)g（x）=x²﹣2mlnx﹣2mx，

則g′（x）=，令g′（x）=0，x²﹣mx﹣m=0．

因?yàn)閙＞0，x＞0，所以x₁=＜0（舍去），x₂=，

當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增，

當(dāng)x=x₂時(shí)，g（x）取最小值g（x₂）．                 

則

即

所以2mlnx₂+mx₂﹣m=0，因?yàn)閙＞0，所以2lnx₂+x₂﹣1=0（*），

設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x﹣1，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．

因?yàn)閔（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，即=1，

解得m=．