Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，
（1）E、F是AB、BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使AC兩點重合于點A′，求證：A′D⊥EF；
（2）若BE=BF=λBC，求λ的范圍并求三棱錐A′-EFD的體積．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知：A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，由此能夠證明A'D⊥面A'EF，從而得到A'D⊥EF．
 （2）取EF中點G，連接A'G，則A'G⊥EF，由BE=BF=λBC=2λ，∠EBF=90°，知EF=2

2

λ，A'E=A'F=2-2λ，A′G=

2λ2-8λ+4

，要使A、C兩點能重合于點A'，則在△A'EF中，A'E+A'F＞EF，由此能求出λ的范圍和三棱錐A′-EFD的體積．

解答：（1）證明：∵邊長為2的正方形ABCD中，
E、F是AB、BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使AC兩點重合于點A′，
∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，
∴A'D⊥面A'EF，
∵EF?面A'EF，∴A'D⊥EF．
 
（2）解：取EF中點G，連接A'G，則A'G⊥EF，
∵BE=BF=λBC=2λ，∠EBF=90°，∴EF=2

2

λ，
A'E=A'F=2-2λ，A′G=

2λ2-8λ+4

，
要使A、C兩點能重合于點A'，則在△A'EF中，A'E+A'F＞EF
即2(2-2λ)＞2

2

λ，
∴0＜λ＜2-

2

，
∵DA'⊥A'F，A'D⊥EF，∴A'D⊥面A'EF，
則VA′-EFD=

1

3

SA′EF•A′D=

2 2 λ

3

2λ2-8λ+4

=

4

3

λ

λ2-4λ+2

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法．解題時要認真審題，注意翻折變換中數(shù)量關(guān)系的變化，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．