Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱該f（x）為β函數(shù)，現(xiàn)給出如下函數(shù)：（1）f（x）=2x-1；（2）f（x）=x²；（3）f（x）=sinx；（4）f(x)=

x

x2+x+1

；（5）f（x）=2^x-1；其中是β函數(shù)的序號(hào)是

（3）（4）

．

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)β函數(shù)的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行判定．比較各個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)只有選項(xiàng)（3）（4），根據(jù)單調(diào)性可求出存在正常數(shù)M滿足條件，而對于其它選項(xiàng)，不等式變形之后，發(fā)現(xiàn)都不存在正常數(shù)M使之滿足條件，由此即可得到正確答案．

解答：解：據(jù)定義逐個(gè)加以判斷：
對于（1），|f（x）|=|2x-1|≤M|x|，即|

2x-1

x

|=|2-

1

x

|≤M，不存在這樣的M對一切實(shí)數(shù)x均成立，故不是β函數(shù)；
對于（2），|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對一切實(shí)數(shù)x均成立，故不是β函數(shù)；
對于（3），|f（x）|=|sinx|≤M|x|，即|

sinx

x

|≤M，當(dāng)M≥1時(shí)，對一切實(shí)數(shù)x均成立，f（x）=sinx是β函數(shù)．
對于（4），要使|f（x）|≤M|x|成立，即 |

x

x2+x+1

| ≤M|x|
當(dāng)x=0時(shí)，M可取任意正數(shù)；當(dāng)x≠0時(shí)，只須M≥|

1

x2+x+1

|的最大值；因?yàn)閤²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以M≥

4

3

，
因此，當(dāng)M≥

4

3

時(shí)，f（x）=

x

x2+x+1

是β函數(shù)；
對于（5），|f（x）|=|2^x-1|≤M|x|，即|

2 x-1

x

|≤M，不存在這樣的M對一切實(shí)數(shù)x均成立，故不是β函數(shù)；
 故答案為（3）（4）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．深刻理解題中β函數(shù)的定義，用不等式的性質(zhì)加以處理，找出不等式恒成立的條件再進(jìn)行判斷，是解決本題的關(guān)鍵所在．