Question

已知點(diǎn)P（0，一2），橢圓c：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若三角形PF₁F₂的面積為2，且a²，b²的等比中項(xiàng)為6

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上有A、B兩點(diǎn)，使△PAB的重心為F₁，求直線AB的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求△MAB的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由三角形PF₁F₂的面積為2，及點(diǎn)P（0，一2）可得a，b的關(guān)系式，再利用a²，b²的等比中項(xiàng)為6

2

，故可求a，b；
（2）充分利用條件橢圓上有A、B兩點(diǎn)，使△PAB的重心為F₁可求；
（3）由于AB線段的長度為定值，所以要使△MAB的面積的最大值，只需點(diǎn)線距離最大即可．

解答：解：（1）由三角形PF₁F₂的面積為2，及點(diǎn)P（0，一2），可得a²-b²=1（a＞b＞0），
∵a²，b²的等比中項(xiàng)為6

2

，
∴a²b²=72，∴a²=9，b²=8，∴

x2

9

+

y2

8

=1；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由橢圓上有A、B兩點(diǎn)，使△PAB的重心為F₁，可得

x1+x2 3 =-1 y1+y2-2 3 =0

，
又

x12

9

+

y12

8

=1，

x22

9

+

y22

8

=1，兩式相減得

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

9(y1+y2)

=

4

3

，
AB的中點(diǎn)為（-

3

2

，1），所以AB的方程為4x-3y+9=0．
（3）由（2）知，S△MAB=

1

2

AB×d的最大值為

3

4

30

+3

5

，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

6

，-

2

3

6

)．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，利用了待定系數(shù)法，求解直線方程則利用了設(shè)而不求法，要注意細(xì)細(xì)體會．