Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是和（），求證：.

Answer 1

【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）詳見解析（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得曲線在處的切線斜率為f ′(1)，所以先求導(dǎo)f ′(x)＝2x －1＋，再求斜率k=f ′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用點(diǎn)斜式可得切線方程：2x－y－2＝0．（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝．再分類討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上的零點(diǎn)：當(dāng)a≤0時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)1；當(dāng)0＜a時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)和1；再比較兩個(gè)零點(diǎn)大小，分三種情形.（3）本題實(shí)質(zhì)研究函數(shù)最小值.因?yàn)?/span>=()－(bx1－bx2)＋ln，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個(gè)根，所以bx=2x2＋1，bx1－bx2=2（）；再由x1x2＝得－－ln(2)，最后根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定x2取值范圍：x2∈(1，＋∞)，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間(2，＋∞)單調(diào)遞增，即φ(t)＞φ(2)＝－ln2，

試題解析：（1）因?yàn)閍＝b＝1，所以f(x)＝x 2－x＋lnx，

從而f ′(x)＝2x －1＋．

因?yàn)?/span>f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y－0＝2(x－1)，

即2x－y－2＝0．

（2）因?yàn)閎＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，

從而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0．

當(dāng)a≤0時(shí)，x∈(0，1)時(shí)，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)＜0，

所以，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．

當(dāng)0＜a＜時(shí)，

由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，

所以f(x)在區(qū)間(0，1)和區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減．

當(dāng)a＝時(shí)，

因?yàn)?/span>f ′(x)≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)），

所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

當(dāng)a＞時(shí)，

由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，

所以f(x)在區(qū)間(0，)和區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減．

（3）方法一：因?yàn)閍＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，從而f ′(x)＝ (x＞0)．

由題意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個(gè)根，故x1x2＝．

記g(x) ＝2x2－bx＋1，因?yàn)?/span>b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，

所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2＋1 (i＝1，2)．

f(x1)－f(x2)＝()－(bx1－bx2)＋ln＝－()＋ln．

因?yàn)?/span>x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝－－ln(2)，x2∈(1，＋∞)．

令t＝2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－lnt．

因?yàn)?/span>φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在區(qū)間(2，＋∞)單調(diào)遞增，

所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2．

方法二：因?yàn)閍＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，從而f ′(x)＝ (x＞0)．

由題意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個(gè)根．

記g(x) ＝2x2－bx＋1，因?yàn)?/span>b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，

所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在[x1，x2]上為減函數(shù)．

所以f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)＝(－＋ln)－(1－b)＝－＋－ln2．

因?yàn)?/span>b＞3，故f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2．