Question

橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，且橢圓過點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）過點(diǎn)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M、N兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，試判斷∠MAN的大小是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系得到a，b的一個(gè)等式，再將橢圓過的點(diǎn)代入得到橢圓的另一個(gè)關(guān)于a，b的等式，解方程組，得到橢圓的方程．
（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，求出的值，利用向量垂直的充要條件求出∠MAN的大小．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為
∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為
∴a²=3+b²①
∵
∴
解得a²=4，b²=3
所以橢圓方程為
（2）設(shè)直線MN的方程為：，
聯(lián)立直線MN和曲線C的方程可得：
得：，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
則，
則
即可得，．
點(diǎn)評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系找突破口．