Question

【題目】【2018屆吉林省普通中學(xué)高三第二次調(diào)研】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為，短軸長為，已知是拋物線的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程和拋物線的方程;

（2）若拋物線的準(zhǔn)線上兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1） ， （2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為及短軸長為，結(jié)合，即可求出橢圓的方程，從而求出坐標(biāo)，可得拋物線的方程；（2）設(shè)直線方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立跟橢圓方程消去，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線的方程，得點(diǎn)，再根據(jù)的面積為，即可求出直線的方程.

試題解析：（1）

，所以橢圓方程為

所以拋物線方程為

（2）設(shè)直線方程為，與直線的方程聯(lián)立

可得點(diǎn)，

聯(lián)立跟橢圓方程消去，整理得，

解得，可得

∵

∴，則直線方程，

令，解得，即

∴有，

整理得, 解得

∴直線的方程為：