Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，若對任意的正整數(shù)在區(qū)間上始終存在個(gè)整數(shù)使得成立，試問：正整數(shù)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；

（2）得到=，令p（x）=，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；

（3）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最值，從而求出m的范圍即可．

詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以

所以且

由導(dǎo)數(shù)幾何意義知在點(diǎn)處的切線方程為，即

（2）由，∴

令，所以，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值.

因?yàn)?/span>，，且時(shí)，，

故，所以

（3）由題意，，

因?yàn)?/span>，所以

所以在上單調(diào)遞增，

∴，

由題意，恒成立

令，且在上單調(diào)遞增，

因此，而是正整數(shù)，故，

所以時(shí)，存在，時(shí)，

對所有滿足題意，

∴.