Question

已知不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞a對(duì)一切大于1的自然數(shù)n都成立，則a的取值范圍是（　　）

• A．(-∞，

  1

  3

  ]
• B．(-∞，

  1

  2

  ]
• C．(-∞，

  7

  12

  )
• D．（-∞，0]

Answer 1

分析：先設(shè)f(n)=

1

n+1

+…+

1

2n

，利用單調(diào)性的定義證得f（n）是關(guān)于n（n∈N，n≥2）的遞增數(shù)列，從而f（n）≥f（2）從而可求a的取值范圍．

解答：解：設(shè)設(shè)f(n)=

1

n+1

+…+

1

2n

，則f(n+1)=

1

n+2

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2(n+1)

，
則f(n+1)-f(n)=

1

2n+1

+

1

2(n+1)

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2(n+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
所以數(shù)列f（n）是關(guān)于n（n∈N，n≥2）的遞增數(shù)列，
所以f（n）≥f（2）=

1

2+1

+

1

2+2

=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
所以要使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞a對(duì)一切大于1的自然數(shù)n都成立，所以a＜

7

12

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的證明、進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．