Question

已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值.設(shè).

（1）若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；

（2）如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn).

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式將表示為為自變量的函數(shù)，利用基本不等式求出相應(yīng)的最小值，然后列方程求出的值；（2）令，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求方程的根，對首項(xiàng)系數(shù)的符號進(jìn)行分類討論，以及在首項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)對的符號進(jìn)行分類討論，從而確定函數(shù)在定義域上是否存在零點(diǎn)，并且在零點(diǎn)存在的前提下利用求根公式求出相應(yīng)的零點(diǎn)值.

試題解析：（1）依題可設(shè) ()，則；

又的圖像與直線平行         

， ，

設(shè)，則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值

當(dāng)時(shí)，   解得 

當(dāng)時(shí)，   解得

（2）由()，得  

當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，方程有二解，

若，，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；

若，，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；

當(dāng)時(shí)，方程有一解,   ,

函數(shù)有一零點(diǎn)

綜上，當(dāng)時(shí), 函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)()，或（）時(shí)，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn).

考點(diǎn)：1.兩點(diǎn)間的距離公式；2.基本不等式；3.分類討論；4.一元二次方程的求解