Question

如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）求幾何體ABCDFE的體積；
（Ⅱ）證明：平面ADE∥平面BCF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)O，ED的中點(diǎn)G，由條件證明AO⊥平面BCED，同理FG⊥平面BCED，故所求的幾何體的體積等于三棱錐F-BCED的體積的2倍，運(yùn)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）先證明AO和FG平行且相等，可得四邊形AOFG為平行四邊形，可得AG∥OF，再證DE∥BC，利用平面和平面平行的判定定理，證得平面ADE∥平面BCF．

解答：解：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)O，ED的中點(diǎn)G，連接AO，OF，F(xiàn)G，AG．
因?yàn)椤鰽BC，△DFE都是等邊三角形，故有AO⊥BC，且平面BCED⊥平面ABC，
所以AO⊥平面BCED，同理FG⊥平面BCED，
因?yàn)?span id="rcc9496" class="MathJye">AO=FG=

3

，四邊形BCED是邊長為2的正方形，
所以，VABCDFE= 2•V F-BCED=

1

3

×4×

3

×2=

8 3

3

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AO∥FG，AO=FG，
所以四邊形AOFG為平行四邊形，故AG∥OF，
又DE∥BC，所以，平面ADE∥平面BCF．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查平面和平面平行的判定定理的應(yīng)用，用分割法求柱體、椎體的體積，屬于中檔題．