Question

已知圓O：交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連結(jié)PF，過原點O作直線PF的垂線交直線于點Q．

   （1）求橢圓C的標準方程；

   （2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ圓O相切；

   （3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）     （2）見解析   （3）見解析

【解析】(1)由a和e可求出c,進而求出b,橢圓方程確定.

（2）可先求出直線OQ的方程y=-2x.然后求出Q的坐標.從而通過PQ和OQ的斜率證明直線PQ與圓O相切.

(3)根據(jù)（2）的解題思路，設(shè)，然后利用P的坐標表示出OQ的方程，再求出點Q的坐標，然后根據(jù)OP和PQ的斜率之積是否為-1,來判斷直線PQ始終與圓O是否相切

（1）因為 則b=1，即橢圓C的標準方程為  3分

（2）因為P（1，1），所以

所以，所以直線OQ的方程為y= —2x.       4分

又Q在直線上，所以點Q（—2，4） 

    即PQ⊥OQ，故直線PQ與圓O相切，               7分

（3）當點P在圓O上運動時，直線PQ與圓P保持相切的位置關(guān)系

設(shè)，則

所以直線OQ的方程為            所以點Q  

所以                9分

                       10分

所以，即OP⊥PQ（P不與A、B重合），

故直線PQ始終與圓O相切.                    12分