Question

設(shè)F₁、F₂為曲線C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的焦點(diǎn)，P是曲線C₂：

x2

3

-y²=1與C₁的一個(gè)交點(diǎn)，則△PF₁F₂的面積為（　　）

• A．

  1

  4

• B．1
• C．

  2

• D．2

  2

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可得 PF₁+PF₂=2

6

，PF₁-PF₂=2

3

，△PF₁F₂中，由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=

1

3

，故 sin∠F₁PF₂=

2 2

3

，
由△PF₁F₂的面積為

1

2

•PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂運(yùn)算得到結(jié)果．

解答：解：由曲線C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的方程可得a=

6

，c=2，即F₁ （-2，0）、F₂（2，0），
再由橢圓的定義可得PF₁+PF₂=2

6

．
又因曲線C₂：

x2

3

-y²=1與C₁的焦點(diǎn)相同，再由雙曲線的定義可得
PF₁-PF₂=2

3

．
∴PF₁=

6

+

3

，PF₂=

6

-

3

．
△PF₁F₂中，由余弦定理可得  16=（

6

+

3

）²+（

6

-

3

）²-2（

6

+

3

）（

6

-

3

）cos∠F₁PF₂，
解得 cos∠F₁PF₂=

1

3

，
∴sin∠F₁PF₂=

2 2

3

，
△PF₁F₂的面積為

1

2

•PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=

1

2

（

6

+

3

）（

6

-

3

）sin∠F₁PF₂=

2

，
故答案為：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出PF₁=

6

+

3

，PF₂=

6

-

3

，sin∠F₁PF₂ 的值，是解題的關(guān)鍵．