Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直線(xiàn)AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

（Ⅰ）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，
由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁=A₁B，得
AD⊥平面A₁BC，又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC．
因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
則AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，從而B(niǎo)C⊥側(cè)面A₁ABB₁，
又AB?側(cè)面A₁ABB₁，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知∠ACD是直線(xiàn)AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=φ，
于是在Rt△ADC中，sinθ=

AD

AC

，在Rt△ADB中，sinφ=

AD

AB

，
由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜

π

2

，所以θ＜φ，



解法2：由（Ⅰ）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB₁所在的直線(xiàn)分
別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA₁=a，AC=b，
AB=c，則B（0，0，0），A（0，c，0），C(

b2-c2

，0，0)，A1(0，c，a)，
于是

BC

=(

b2-c2

，0，0)，

BA1

=(0，c，a)，

AC

=(

b2-c2

，-c，0)，

AA1

=(0，0，a)．
設(shè)平面A₁BC的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），
則由

n• BA1 =0 n• BC =0

．得

cy+az=0 b2-c2x =0

．
可取n=（0，-a，c），于是n•

AC

=ac＞0，

AC

與n的夾角β為銳角，則β與θ互為余角．sinθ-cosβ=

n• AC

|n|•| AC |

=

ac

b a2+c2

，cosφ=

BA1 • BA

| BA1 |•| BA |

=

c

a2+c2

，
所以sinφ=

a

a2+c2

，
于是由c＜b，得

ac

b a2+c2

＜

a

a2+c2

，
即sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜

π

2

，所以θ＜φ，