Question

在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊依次為a、b、c．設(shè)

m

=（cosA，sinA），

n

=（cosA，-sinA），a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ）若b=2

2

，求△ABC的面積；
（Ⅱ）求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得

m

•

n

=cos2A=

1

2

，結(jié)合角的范圍可得A=

π

3

，由正弦定理和已知可得三角形外接圓的半徑R=2，進(jìn)而可得B=

π

4

，由兩角和的正弦公式可得sinC，代入面積公式S=

1

2

absinC計(jì)算可得；
（Ⅱ）由余弦定理和已知數(shù)據(jù)可得b²+c²-bc=12，由基本不等式可得（b+c）²=3bc+12≤3(

b+c

2

)2+12，解關(guān)于b+c的不等式可得．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得

m

•

n

=cos²A-sin²A=cos2A=

1

2

，
∵在銳角△ABC中，0＜A＜

π

2

，∴0＜2A＜π，∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理可得a=2RsinA=2R

3

2

=2

3

，解得R=2
由b=2RsinB得sinB=

2

2

，又b＜a，∴B=

π

4

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

•

2

2

+

1

2

•

2

2

=

6 + 2

4

∴△ABC的面積為S=

1

2

absinC=

1

2

•2

3

•2

2

•

6 + 2

4

=3+

3

．
（Ⅱ）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=12，
∴（b+c）²=3bc+12≤3(

b+c

2

)2+12，解不等式可得b+c≤4

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，∴b+的最大值4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積與正余弦定理的應(yīng)用，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．