Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

(1）求函數(shù)的極值點；

(2）若直線過點（0，—1），并且與曲線相切，求直線的方程；

(3）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值.（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)

 

Answer 1

【答案】

(1)是函數(shù)的極小值點，極大值點不存在(2)(3)

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，＞0.

而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以是函數(shù)的極小值點，極大值點不存在.                        ……4分

(2）設(shè)切點坐標為，則切線的斜率為

所以切線的方程為

又切線過點，所以有

解得

所以直線的方程為                                            ……8分

(3），則

＜0＜00＜＜＞0＞

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.                   ……10分

①當即時，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值為

②當1＜＜e，即1＜a＜2時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

在上的最小值為

③當即時，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值為

綜上，當時，的最小值為0；

當1＜a＜2時，的最小值為；

當時，的最小值為                                ……14分

考點：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和構(gòu)造函數(shù)證明不等式以及基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和構(gòu)造能力以及運算求解能力.

點評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的性質(zhì)（尤其是單調(diào)性、極值、最值等）的有力工具，要靈活應(yīng)用.另外，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義時，要分清是某點處的切線還是過某點的切線.