Question

（2013•濟南二模）已知點F₁(-

3

，0)和F₂(

3

，0)是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點，且橢圓M經過點(

3

，

1

2

)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點P（0，2）的直線l和橢圓M交于A、B兩點，且

PB

=

3

5

PA

，求直線l的方程；
（3）過點P（0，2）的直線和橢圓M交于A、B兩點，點A關于y軸的對稱點C，求證：直線CB必過y軸上的定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用b²=a²-c²及點(

3

，

1

2

)滿足橢圓的方程即可得出．
（2）設出直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系及向量相等即可求出；
（3）設過點P（0，2）的直線AB方程為：y=kx+2，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系及其對稱性得出直線BC的方程即可．

解答：解：（1）由條件得：c=

3

，設橢圓的方程

x2

a2

+

y2

a2-3

=1，
把(

3

，

1

2

)代入得

3

a2

+

1

4(a2-3)

=1，解得a²=4，
所以橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）斜率不存在時，

PB

=

1

3

PA

不適合條件；
設直線l的方程y=kx+2，點B（x₁，y₁），點A（x₂，y₂），
代入橢圓M的方程并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

．
且x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

．
因為

PB

=

3

5

PA

，即(x1，y1-2)=

3

5

(x2，y2-2)，所以x1=

3

5

x2．
代入上式得x2=-

10k

4k2+1

，x22=

20

4k2+1

，解得k=±1，
所以所求直線l的方程：y=±x+2．
（3）設過點P（0，2）的直線AB方程為：y=kx+2，點B（x₁，y₁），點 A（x₂，y₂），C（-x₂，y₂）．
把直線AB方程代入橢圓M：

x2

4

+y2=1，并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

．
且x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

．
設直線CB的方程為：y-y2=

y2-y1

-x2-x1

(x+x2)，
令x=0得：y=y2-

y2x2-x2y1

x1+x2

=

x2y1+x1y2

x1+x2

=

2kx1x2

x1+x2

+2．
把x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

代入上式得：y=

2k 12 4k2+1

-16k 4k2+1

+2=-

3

2

+2=

1

2

．
所以直線CB必過y軸上的定點，且此定點坐標為(0，

1

2

)．
當直線斜率不存在時，也滿足過定點的條件．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量相等等基礎知識與方法；需要較強的推理能力和計算能力．