Question

如圖，已知拋物線：和⊙：，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為．

（1）求拋物線的方程；

（2）當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，求直線的斜率；

（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）﹒

【解析】

試題分析：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閳A心到拋物線準(zhǔn)線的距離為，所以有，解得，從而求出拋物線方程為.

（2）由題意可知，直線軸，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)直線與的傾斜角互補(bǔ)，即，又設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，，所以有，即，整理得，所以.

（3）由題意可設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031405145741606745/SYS201403140515510254873563_DA.files/image031.png">、是圓的切線，所以、，因此，，由點(diǎn)斜式可求出直線、的直線方程分別為、，又點(diǎn)在拋物線上，有，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入直線、的方程得、，可整理為、，從而可求得直線的方程為，令，得直線在上的截距為，考慮到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.

試題解析：（1）∵點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，

∴，即拋物線的方程為．                 2分

（2）法一：∵當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，

設(shè)，，

∴，   ∴ ，

∴．    ．         7分

法二：∵當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，可得，，∴直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

∵   ∴，．

同理可得，，∴．         7分

（3）法一：設(shè)，∵，∴，

可得，直線的方程為，

同理，直線的方程為，

∴，，

∴直線的方程為，

令，可得，

∵關(guān)于的函數(shù)在單調(diào)遞增，   ∴．      14分

法二：設(shè)點(diǎn)，，．

以為圓心，為半徑的圓方程為，      ①

⊙方程：．②

①-②得：

直線的方程為．

當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距，

∵關(guān)于的函數(shù)在單調(diào)遞增，   ∴．          14分

考點(diǎn)：1.拋物線方程；2.圓的方程；3.直線方程.