Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓與曲線的交點(diǎn)為、，求面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的短軸長(zhǎng)，可以求出，再根據(jù)離心率及，從而能夠求出；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫出的方程，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性能夠表示出的面積，聯(lián)立直線與橢圓，求出代入到的面積，進(jìn)一步表示出面積，根據(jù)均值不等式能夠求出面積的最大值.

試題解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，∴

又橢圓離心率，∴，

所以橢圓的方程為

（2）設(shè)點(diǎn)，則，連交軸于點(diǎn)，

由對(duì)稱性知：

由     得：

，

（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）

面積的最大值為.

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系.