Question

若矩形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)為M（2，0），AB邊所在直線方程為x-3y-6=0，點(diǎn)N（-1，1）在AD邊所在直線上，則矩形ABCD外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 

．

Answer 1

分析：由矩形的性質(zhì)得到直線AD與直線AB垂直，因?yàn)閮芍本�垂直時(shí)斜率的乘積為-1，所以由直線AB的斜率得到直線AD的斜率，又直線AD過點(diǎn)N，由N的坐標(biāo)和求出的直線AD的斜率寫出直線AD的方程，與直線AB的方程聯(lián)立即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AM|的長即為矩形外接圓的半徑，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到矩形外接圓的圓心即為點(diǎn)M，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：由題意得：AD⊥AB，又直線AB方程為x-3y-6=0，斜率為

1

3

，
所以直線AD的斜率為3，又直線AD過N（-1，1），
則直線AD的方程為y-1=3（x+1），即3x+y+2=0，
聯(lián)立得：

3x+y+2=0 x-3y-6=0

，解得：

x=0 y=-2

，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），又M（2，0），
則|AM|=

(0-2)2+(-2-0)2

=2

2

，又矩形的外接圓的圓心為M（2，0），
∴圓M的方程為：（x-2）²+y²=8．
故答案為：（x-2）²+y²=8

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握矩形的性質(zhì)及兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．