Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184519199035972/SYS201310241845191990359015_ST/1.png">，值域?yàn)閇-5，4]；函數(shù) g（x）=asinx+2bcosx，x∈R．
（1）求函數(shù)g（x）的最小正周期和最大值；
（2）當(dāng)x∈[0，π]，且g（x）=5時(shí)，求tan x．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用 三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式為-2a sin（2x+）+a+b，分a＞0和a＜0，根據(jù)函數(shù)的值域分別求出a、b的值，從而求得函數(shù)g（x）的最小正周期和最大值．
（2）由上可知當(dāng)a＞0時(shí)，由g（x）=5sin（x+ϕ₁），且tanϕ₁=-，g（x）_max=5，此時(shí)x+ϕ₁=2kπ+（k∈Z），可得tanx=cot ϕ₁=-．當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）_max=＜5，故不存在
符合題意的x．
解答：解：（1）f（x）=a（1-cos2x）-sin2x+b=-a（cos2x+sin2x）+a+b=-2a sin（2x+）+a+b．----------（2分）
∵x∈，∴2x+，sin（2x+）∈．顯然a=0不合題意．--------（4分）
當(dāng)a＞0時(shí)，值域?yàn)閇b-a，b+2a]，即．----------（6分）
當(dāng)a＜0時(shí)，值域?yàn)閇b+2a，b-a]，即． （8分）
 當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+ϕ₁），∴T=2π，g（x）_max=5；
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=-3sinx+2cosx=sin（x+ϕ₂），∴T=π，g（x）_max=．------------（10分）
（2）由上可知，
當(dāng)a＞0時(shí)，由g（x）=5sin（x+ϕ₁），且tanϕ₁=-，g（x）_max=5，此時(shí)x+ϕ₁=2kπ+（k∈Z）．
則x=2kπ+-ϕ₁（k∈Z），由于 x∈（0，π），∴tanx=cot ϕ₁=-．（12分）
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）_max=＜5，所以不存在符合題意的x．（13分）
綜上，tan x=-．-------------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，求出a、b的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．