Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是從-1，0，1，2四數(shù)中任取一個，b是從1，2，3，4，5五數(shù)中任取一個，那么f（x）＞b恒成立的概率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  7

  20

• C．

  2

  5

• D．

  9

  20

Answer 1

分析：當a=-1時，經(jīng)過檢驗，不滿足f（x）＞b恒成立．當a＞0時，先把f（x）的解析式變形，用分離常數(shù)法，然后用均值不等式求出最小值，一一列舉可得，試驗發(fā)生包含的所有事件有20個，滿足條件的事件有9個，列舉出結(jié)果，從而求得f（x）＞b恒成立的概率．

解答：解：當a=-1時，函數(shù)f（x）=ax+

x

x-1

=-x+

1

x-1

=-x+

x-1+1

x-1

=1-x+

1

x-1

，由于函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-1-

1

(x-1)2

＜0，
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（2）=0，故當x＞2時，f（x）＜0．
而b是從1，2，3，4，5五數(shù)中任取一個，顯然不滿足當x＞1時，f（x）＞b恒成立．
∵函數(shù)f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），當a＞0時，
∴f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+1+

1

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+a+1≥2

a

+a+1=(

a

+1)2，
當且僅當a（x-1）+

1

x-1

時，等號成立，故f（x）min=(

a

+1)2．
于是f（x）＞b恒成立就轉(zhuǎn)化為(

a

+1)2＞b，
當a=0時，函數(shù)f（x）=1+

1

x-1

＞1，由f（x）＞b恒成立可得，只有b=1．
設(shè)事件A：“f（x）＞b恒成立”，則基本事件總數(shù)（a，b）為20個：
（-1，1）、（-1，2）、（-1，3）、（-1，4）、（-1，5）、
（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）；（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（2，5），共9個．
故f（x）＞b恒成立的概率為

9

20

，
故選D．

點評：本題考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用，在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)；當解析式中含有分式，且分子分母是齊次的，注意運用分離常數(shù)法來進行式子的變形，在使用均值不等式應(yīng)注意一定，二正，三相等，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．