Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；

（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）利用奇偶性的定義，判斷并證明得為奇函數(shù)；（2）分參得，判斷其單調(diào)性和值域，得零點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況。

試題解析：

解法一：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，該函數(shù)為奇函數(shù).

證明如下:

依題意得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，

又

所以，函數(shù)為奇函數(shù).

（Ⅱ）因?yàn)?/span>

所以 ，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增且值域?yàn)?/span>

所以， 在上單調(diào)遞減且值域?yàn)?/span>

所以，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn).

解法二：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，該函數(shù)為奇函數(shù).

證明如下:

依題意有函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，

又

=

即.

所以，函數(shù)為奇函數(shù).

（Ⅱ）問題等價(jià)于討論方程=0的解的個(gè)數(shù)。

由，得

當(dāng)時(shí)，得，即方程無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，得，

當(dāng)即時(shí)，方程有唯一解；

當(dāng)即或時(shí)，方程無(wú)解.

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn).