Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），離心率e=2，且雙曲線C上的任意一點M滿足||MF₁|-|MF₂||=2．
（1）雙曲線C的方程；
（2）直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于不同的兩點A、B，
（i）求m的取值范圍；
（ii）另一直線l經過M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的定義可得2a=2，再利用e=

c

a

=2，b²=c²-a²=3，即可得出b，c．
（2）（i）把直線的方程與雙曲線的方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直線與雙曲線的左支交于兩個不同的交點，可得

m2-3≠0 △＞0 x1+x2＜0 x1•x2＞0

解得即可；
（ii）利用（i）和中點坐標公式可得線段AB的中點，再利用點斜式即可得出直線l的方程，再利用二次函數和反比例函數的單調性就看得出截距b的取值范圍．

解答：解：（1）∵雙曲線C上的任意一點M滿足||MF₁|-|MF₂||=2．
∴2a=2，解得a=1．
又e=

c

a

=2，解得c=2，
∴b²=c²-a²=3，
故所求的雙曲線C方程為x2-

y2

3

=1．
（2）（i）由

y=mx+1 x2- y2 3 =1

消去y得：（m²-3）x²+2mx+4=0（*）   
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直線與雙曲線的左支交于兩個不同的交點
則

m2-3≠0 △＞0 x1+x2＜0 x1•x2＞0

解得  

3

＜m＜2，
（ii）由方程（*）得AB的中點坐標為(

m

3-m2

，

3

3-m2

)，
∴直線l的斜率k=

3 3-m2 -0

m 3-m2 +2

=

3

-2m2+m+6

，
其方程為y=

3

-2m2+m+6

(x+2)，

∴b=

6

-2m2+m+6

，（

3

＜m＜2），
令f（m）=-2m²+m+6=-2(m-

1

4

)2+

49

8

，在m∈(

3

，2)上單調遞減，
∴0＜f(m)＜

3

．
∴b＞2

3

．
∴直線l在y軸上的截距b的取值范圍是(2

3

，+∞)．

點評：本題綜合考查了雙曲線的定義及其標準方程性質、直線與雙曲線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、點斜式方程、二次函數和反比例函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．