Question

設(shè)a＞0，函數(shù)．
（1）求證：關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)數(shù)列{x_n}滿足，當(dāng)a=2且，證明：對(duì)任意m∈N^*都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知方程，可得，通分化簡(jiǎn)得到一元二次方程，用△來(lái)進(jìn)行判斷，方程有無(wú)解；
（2）已知g（x）的解析式，根據(jù)求導(dǎo)法則求出g′（x），令g′（x）=0，先求出其極值點(diǎn)再研究其單調(diào)性，含有參量a，需要分類討論；
（3）已知數(shù)列{x_n}滿足，將x_m+k-x_k=（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+（x_m+k-2-x_m+k-3）…+（x_k+1-x_k），然后再進(jìn)行放縮，求證；
解答：解：（1）∵方程，∴，
∴x²-x+a+1=0，∵a＞0，∴△=1-4（a+1）=-4a-3＜0
方程沒有實(shí)數(shù)根；
（2）∵函數(shù)，
∴g′（x）=ax²+2x+a，令g′（x）=ax²+2x+a=0，則△=4-4a²，
①當(dāng)△=4-4a²，＜0，即a＞1，對(duì)任意實(shí)數(shù)g′（x）＞0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞增
②當(dāng)△=4-4a²，=0，即a=1，g′（1）=0，但g′（x）＞0，（x≠1），
∴g（x）在R上單調(diào)遞增
③當(dāng)△=4-4a²，＞0，即0＜a＜1，對(duì)任意實(shí)數(shù)由g′（x）＞0，ax²+2x+a＞0，得x或x＞，
∴g（x）在（）上單調(diào)遞減，
g（x）在（-∞，），（，+∞）上單調(diào)遞增
（3）當(dāng)a=2時(shí)，由x₁=0，得  x₂=f（x₁）=f（0）=，|x₁-x₂|=，
|x₁-x₂|=||=×|x₂²-x₁²|＜×|x₂-x₁||x₂+x₁|=××|x₂-x₁|=
當(dāng)k≥2時(shí)，∵0＜x_k≤
∴|x_k+1-x_k|=||=×|x_k²-x_k-1²|×|x_k-x_k-1||x_k+x_k-1|＜×|x_k-x_k-1|
＜×|x_k-1-x_k-2|＜…＜×|x₃-x₂|＜
對(duì)任意m∈N₊，
|x_m+k-x_k|=|（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+（x_m+k-2-x_m+k-3）…+（x_k+1-x_k）|≤|（x_m+k-x_m+k-1）|+|（x_m+k-1-x_m+k-2）|+••+|（x_k+1-x_k）|
≤（++…++1）|x_k+1-x_k|=|x_k+1-x_k|=•=，
即證；
點(diǎn)評(píng)：此題難度比較大，多次用到放縮，但是一、二問比較簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函f（x）的單調(diào)性和極值，第三問是數(shù)列綜合題，關(guān)鍵是拆項(xiàng)找出規(guī)律，此題還利用了分類討論的思想；