Question

已知函數(shù)（x∈R且x≠0）
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，用單調(diào)性的定義討論并求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，理由如下：
∵函數(shù)（x∈R且x≠0）
∴=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，區(qū)間（0，2]為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，
區(qū)間[2，+∝）為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，
理由如下：
∵
∴
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f′（x）≤0恒成立，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；
當(dāng)x≥2時(shí)，f′（x）≥0恒成立，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；
分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故我們只要判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷出f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，我們可以求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值大于0，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)值小于0，函數(shù)為減函數(shù)，得到當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的方法和步驟是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．