Question

等邊三角形ABC的邊長為2沿平行于BC的線段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，設(shè)點A到直線PQ的距離為x，AB的長為d．
（Ⅰ）x為何值時，d²取得最小值，最小值是多少；
（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．

Answer 1

分析：（I）如圖（1）為折疊前對照圖，圖（2）為折疊后的空間圖形．利用面面垂直和線面垂直的判定與性質(zhì)定理和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（II）在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）如圖（1）為折疊前對照圖，圖（2）為折疊后的空間圖形．
∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，
∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．
在Rt△BRD中，BR²=BD²+RD²=1+(

3

-x)2，
AR²=x²．
故d²=BR²+AR²=2x2-2

3

x+4(0＜x＜

3

)．
∴當x=

3

2

時，d²取得最小值

5

2

．
（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，
∴在等腰△ADC中，由余弦定理得cosθ=

2d2-22

2d2

，即cosθ=1-

4

2d2

，
∴當d2=

5

2

時，cosθ取得最小值

1

5

．

點評：本題考查了面面垂直和線面垂直的判定與性質(zhì)定理和二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理和余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．