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        1. 如圖,已知點F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點,過P作直線l的垂線,垂足為點Q,若
          QP
          QF
          =
          FP
          FQ

          (1)求動點P的軌跡C的方程;
          (2)過點M(-1,0)作直線m交軌跡C于A,B兩點.
          (Ⅰ)記直線FA,F(xiàn)B的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值;
          (Ⅱ)若線段AB上點R滿足
          |MA|
          |MB|
          =
          |RA|
          |RB|
          ,求證:RF⊥MF.
          分析:(1)設(shè)點P(x,y),則Q(-1,y),利用數(shù)量積
          QP
          QF
          =
          FP
          FQ
          得:
          即可.
          (2)(Ⅰ)由題意直線m斜率存在且不為0,設(shè)直線m:y=k(x+1)與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系和斜率計算公式即可得出k1+k2
          (Ⅱ)設(shè)動點R(x,y),利用
          |MA|
          |MB|
          =
          |RA|
          |RB|
          ,即可得出x,進(jìn)而即可證明RF⊥MF.
          解答:解:(1)設(shè)點P(x,y),則Q(-1,y),
          QP
          QF
          =
          FP
          FQ
          得:
          (x+1,0)•(2,-y)=(x-1,y)•(-2,y),
          化簡得C:y2=4x.
          (2)(Ⅰ)由題意直線m斜率存在且不為0,
          設(shè)直線m:y=k(x+1)與拋物線方程聯(lián)立
          y=k(x+1)
          y2=4x

          得k2x2+(2k2-4)x+k2=0
          k≠0
          △>0
          ,∴-1<k<1且k≠0.
          設(shè)A(x1y1),B(x1,y1)則x1+x2=
          4-2k2
          k2
          x1x2=1

          k1+k2=
          y1
          x1-1
          +
          y2
          x2-1

          =
          k(x1+1)
          x1-1
          +
          k(x2+1)
          x2-1
          =k(2+
          2(x1+x2)-4
          x1x2+1-(x1+x2)
          )=0

          (Ⅱ)設(shè)動點R(x,y),∵
          |MA|
          |MB|
          =
          |RA|
          |RB|
          ,∴
          x1+1
          x-x1
          =
          x2+1
          x2-x
          ,化為x=
          2x1x2+x1+x2
          x1+x2+2
          =
          2+x1+x2
          x1+x2+2
          =1.
          ∴R(1,yR),而F(1,0),∴
          RF
          MF
          =(0,-yR)•(2,0)=0.
          ∴RF⊥MF.
          點評:熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量運算、數(shù)量積運算、斜率計算公式等是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知點F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點,過P作直線l的垂線,垂足為點Q,且
          OP
           • 
          QF
          =
          FP
           • 
          FQ

          (1)求動點P的軌跡C的方程;
          (2)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點,交直線l于點M,已知
          MA
          =λ 
          AF
          ,
          MB
          λ2
          BF
          ,求λ12的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2006•嘉定區(qū)二模)如圖,已知點F(1,0),點M在x軸上,點N在y軸上,且
          NM
          NF
          =0,點R滿足
          NM
          +
          NR
          =
          0

          (1)求動點R的軌跡C的方程;
          (2)過B(4,0)作直線l交軌跡C于P、Q兩點,求
          OP
          OQ
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2006•嘉定區(qū)二模)如圖,已知點F(1,0),點M在x軸上,點N在y軸上,且
          NM
          NF
          =0
          ,點R滿足
          NM
          +
          NR
          =
          0

          (1)求動點R的軌跡C的方程;
          (2)過點A(-1,0)作斜率為k的直線l交軌跡C于P、Q兩點,且∠PFQ為鈍角,求直線l的斜率k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (07年福建卷文)(本小題滿分14分)

          如圖,已知點F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點,過Pl的垂線,垂足為點Q,且

          ?

          (I)求動點P的軌跡C的方程;

          (II)過點F的直線交軌跡CAB兩點,交直線l于點M.

          (1)已知的值;

          (2)求||?||的最小值.

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          同步練習(xí)冊答案