Question

已知橢圓方程

x2

a2

+

y2

2a-1

=1(1＜a≤5)，過(guò)其右焦點(diǎn)做斜率不為0的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)在A，B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M（x₀，y₀），則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍是（　　）

• A．[4，+∞）
• B．[4，

  25

  4

  ]
• C．(4，

  25

  4

  ]
• D．(4，

  25

  4

  )

Answer 1

分析：依題意，a²-（2a-1）=（a-1）²＞0，橢圓

x2

a2

+

y2

2a-1

=1（1＜a≤5）的焦點(diǎn)在x軸，作圖可知，當(dāng)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l垂直于x軸時(shí)，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀最小，求得此時(shí)的橢圓的切線方程，即可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x（即x₀），從而可求其值（即最小值），當(dāng)l繞右焦點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，x₀的取值越來(lái)越大，直至無(wú)窮．

解答：解：依題意，a²-（2a-1）=（a-1）²＞0，
∴方程為

x2

a2

+

y2

2a-1

=1（1＜a≤5）的橢圓的焦點(diǎn)在x軸，
作圖如右：
由圖知，當(dāng)l過(guò)其右焦點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀最小，
∵F（a-1，0），
∴AB⊥x軸時(shí)，l的方程為x=a-1，
由

x2 a2 + y2 2a-1 =1 x=a-1

得：A（a-1，

2a-1

a

），B（a-1，-

2a-1

a

）（1＜a≤5），
∵過(guò)A（a-1，

2a-1

a

）點(diǎn)的橢圓的切線方程為：

a-1

a2

x+

2a-1 a

b2

y=1，
∴令y=0，得x=

a2

a-1

=

[(a-1)+1]2

a-1

=（a-1）+

1

a-1

+2，
∵1＜a≤5，
∴x=（a-1）+

1

a-1

+2≥4（當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取“=”）．
∴x≥4．
當(dāng)l繞右焦點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，x₀的取值越來(lái)越大，直至無(wú)窮．
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍是[4，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，著重考查橢圓與直線方程的綜合應(yīng)用，屬于難題．