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        1. 過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ,P、Q為切點(diǎn).
          (1)若切線AP,AQ的斜率分別為k1和k2,求證:k1•k2為定值,并求出定值;
          (2)求證:直線PQ恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo); 
          (3)當(dāng)最小時(shí),求的值.

          【答案】分析:(1)設(shè)過(guò)A(a,0)與拋物線y=x2+1的相切的直線的斜率是k,則該切線的方程為:y=k(x-a).由 得x2-kx+(ka+1)=0,由此可知k1k2=-4.
          (2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由題意知y1=2x1a+2,y2=2x2a+2,由此可知直線PQ的方程是y=2ax+2,直線PQ過(guò)定點(diǎn)(0,2).
          (3)要使 最小,就是使得A到直線PQ的距離最小,而A到直線PQ的距離 .由引入手能夠推導(dǎo)出 的值.
          解答:解:(1)設(shè)過(guò)A(a,0)與拋物線y=x2+1的相切的直線的斜率是k,
          則該切線的方程為:y=k(x-a)
          得x2-kx+(ka+1)=0∴△=k2-4(ka+1)=k2-4ak-4=0
          則k1,k2都是方程k2-4ak-4=0的解,故k1k2=-4
          (2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2
          由于y'=2x,故切線AP的方程是:y-y1=2x1(x-x1
          則-y1=2x1(a-x1)=2x1a-2x12=2x1a-2(y1-1)∴y1=2x1a+2,同理y2=2x2a+2
          則直線PQ的方程是y=2ax+2,則直線PQ過(guò)定點(diǎn)(0,2)
          (3)要使 最小,就是使得A到直線PQ的距離最小,而A到直線PQ的距離
          當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2
          得x2-2ax-1=0,則x1+x2=2a,x1x2=-1,
          =(x1-a)(x2-a)+y1y2=(x1-a)(x2-a)+(2ax1+2)(2ax2+2)
          =(1+4a2)x1x2+3a(x1+x2)+a2+4=-(1+4a2)+3a•2a+a2+4=3a2+3=
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系及方程的思想,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ,P、Q為切點(diǎn),設(shè)切線AP,AQ的斜率分別為k1和k2
          (1)求證:k1k2=-4;
          (2)試問(wèn):直線PQ是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ,切點(diǎn)分別為P、Q
          (I)若切線AP,AQ的斜率分別是k1,k2,求證:k1,k2為定值;
          (Ⅱ)求證:直線PQ過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)(Ⅲ)要使
          SAPQ
          |PQ|
          最小,求
          AQ
          AP
          的值

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ,P、Q為切點(diǎn).
          (1)若切線AP,AQ的斜率分別為k1和k2,求證:k1•k2為定值,并求出定值;
          (2)求證:直線PQ恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo); 
          (3)當(dāng)
          S△APO
          PQ
          最小時(shí),求
          AQ
          AP
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ,P、Q為切點(diǎn),設(shè)切線AP、AQ的斜率分別為k1和k2
          (Ⅰ)求證:k1k2=-4;
          (Ⅱ)求證:直線PQ恒過(guò)定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年浙江省杭州十四中高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

          過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ,P、Q為切點(diǎn),設(shè)切線AP,AQ的斜率分別為k1和k2
          (1)求證:k1k2=-4;
          (2)試問(wèn):直線PQ是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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