Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+2（p-2）x+p，若在區(qū)間[0，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根c，使f（c）＞0，則實(shí)根p的取值范圍是（　�。�

• A、（1，4）
• B、（1，+∞）
• C、（0，+∞）
• D、（0，1）

Answer 1

分析：由于二次函數(shù)f（x）=x²+2（p-2）x+p的圖象是開口方向朝上的拋物線，故二次函數(shù)f（x）=x²+2（p-2）x+p在區(qū)間[0，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）＞0的否定為對(duì)于區(qū)間[0，1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f（x）≤0，即f（0），f（1）均小于等0，由此可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于p的不等式組，解不等式組即可求出實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答：解：二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）＞0的否定是：
對(duì)于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f（x）≤0，
∴

f(0)≤0 f(1)≤0

即

3p-4≤0 p≤0

解得p≤0，
∴二次函數(shù)在區(qū)間[0，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，
使f（c）＞0的實(shí)數(shù)p的取值范圍是 （0，+∞）
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象是開口方向朝上的拋物線，得到對(duì)于區(qū)間[0，1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f（x）≤0時(shí)，

f(0)≤0 f(1)≤0

是解答本題的關(guān)鍵．