Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為2，高為，D是BC的中點，D₁是B₁C₁的中點，求證：
（1）平面A₁BD₁∥平面ADC₁；
（2）CB₁⊥平面ADC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結D₁D，正三棱柱ABC-A₁B₁C中運用平行四邊形性質(zhì)證出四邊形AA₁D₁D是平行四邊形，得A₁D₁∥AD，結合線面平行判定定理得AD∥平面A₁BD₁，同理C₁D∥平面A₁BD₁，結合面面平行判定定理得平面A₁BD₁∥平面ADC₁；
（2）連結B₁C，矩形BB₁C₁C中利用三角函數(shù)證出CB₁⊥C₁D．由線面垂直的性質(zhì)與判定，結合正三棱柱性質(zhì)證出
AD⊥CB₁，結合AD、C₁D是平面ADC₁內(nèi)的相交直線，可得CB₁⊥平面ADC₁．
解答：解：（1）連結D₁D，
∵矩形BB₁C₁C中，D是BC的中點，D₁是B₁C₁的中點，
∴D₁D∥B₁B，且D₁D=B₁B
又∵A₁A∥B₁B，且A₁A=B₁B，
∴A₁A∥D₁D且A₁A=D₁D，可得四邊形AA₁D₁D是平行四邊形，得A₁D₁∥AD
∵A₁D₁?平面A₁BD₁且AD?平面A₁BD₁，∴AD∥平面A₁BD₁，
同理可得C₁D∥平面A₁BD₁，
∵C₁D、AD是平面ADC₁內(nèi)的相交直線，∴平面A₁BD₁∥平面ADC₁；
（2）連結B₁C，則
∵Rt△BB₁C中，tan∠BCB₁=，Rt△CDC₁中，tan∠DC₁C==
∴矩形BB₁C₁C中，∠BCB₁=∠DC₁C=90°-∠C₁CB₁，
可得∠C₁CB₁+∠DC₁C=90°，得CB₁⊥C₁D
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥BC，AD⊥BB₁，BC∩BB₁=B
∴AD⊥平面BB₁C₁C，結合CB₁?平面BB₁C₁C，得AD⊥CB₁，
∵AD、C₁D是平面ADC₁內(nèi)的相交直線
∴CB₁⊥平面ADC₁．
點評：本題在正三棱柱中證明面面平行，并且證明了線面垂直．著重考查了線面平行、面面平行的判定定理，線面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．