Question

A={a₁，a₂，…，a_k}（k≥2），其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素構(gòu)成兩個相應的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n．若對于任意的a∈A，總有-a不屬于A，則稱集合A具有性質(zhì)P．
（1）對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：n≤

k(k-1)

2

；
（2）判斷m和n的大小關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對（a_i，a_j）共有k²個，已知0不屬于A，得到（a_i，a_i）不屬于T，當（a_i，a_j）∈T時，（a_j，a_i）不屬于T，得到集合T中元素的個數(shù)最多為兩者之差．
（2）分兩種情況進行討論對于（a，b）∈S，和對于（a，b）∈T，根據(jù)所給的定義得到S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù)，即m≤n，T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù)，即n≤m，從而得到m=n．

解答：（1）證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對（a_i，a_j）共有k²個．
∵0不屬于A，
∴（a_i，a_i）不屬于T（i=1，2，，k）；
又∵當a∈A時，-a不屬于A時，-a不屬于A，
當（a_i，a_j）∈T時，（a_j，a_i）不屬于T（i，j=1，2，，k）．
從而，集合T中元素的個數(shù)最多為

1

2

(k2-k)=

k(k-1)

2

，
即n≤

k(k-1)

2

．
（2）解：m=n，
證明如下：
（1）對于（a，b）∈S，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，
那么a=c與b=d中至少有一個不成立，從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立．
故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素．
可見，S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù)，即m≤n，
（2）對于（a，b）∈T，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，且a-b∈A，從而（a-b，b）∈S．
如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，
從而a-b=c-d與b=d中也不至少有一個不成立，
故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元素．
可見，T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù)，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．

點評：本題采用分類討論的方法和歸納總結(jié)的方法，歸納是一種重要的推理方法，由具體結(jié)論歸納概括出定義能使學生的感性認識升華到理性認識，培養(yǎng)學生從特殊到一般的認知方法．