Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，PA=AD=2，AC=1．
（Ⅰ）證明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）以

AD

、

AC

、

AP

為x、y、z正半軸方向，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz如圖．得出D、C、P各點的坐標，從而得出

PC

=（0，1，-2），

AD

=（2，0，0），再計算

PC

•

AD

=0，可得

PC

⊥

AD

，即PC⊥AD；
（II）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組并解之，可得平面PCD的一個法向量

n

=（1，2，1），結(jié)合

AD

=（2，0，0）是平面PAC的法向量，算出

AD

，

n

夾角的余弦，即為二面角A-PC-D的余弦之值．最后用同角三角函數(shù)關(guān)系，不難得出二面角A-PC-D的正弦值．

解答：解：（I）以

AD

、

AC

、

AP

為x、y、z正半軸方向，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz…（1分）
則D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）…（3分）
∴

PC

=（0，1，-2），

AD

=（2，0，0），
可得

PC

•

AD

=0×2+1×0+（-2）×0=0，
∴

PC

⊥

AD

，即PC⊥AD；…（6分）
（II）

PC

=（0，1，-2），

CD

=（2，-1，0），
設(shè)平面PCD的一個法向量

n

=（x，y，z）．
則

n • PC =y-2z=0 n • CD =2x-y=0

，取z=1，得

n

=（1，2，1）…（10分）
∵

AD

=(2，0，0)是平面PAC的法向量…（11分）
∴cos＜

AD

，

n

＞=

| AD • n |

| AD |•| n |

=

6

6

，可得sin＜

AD

，

n

＞=

30

6

得：二面角A-PC-D的正弦值為

30

6

…（13分）

點評：本題給出四棱錐，求證線線垂直并求二面角的大小，著重考查了直線與平面垂直的性質(zhì)、用空間向量求平面間的夾角等知識，屬于中檔題．