Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立?若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求出的值并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ) 存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的 最值綜合運(yùn)用。

（1）由已知關(guān)系式得到函數(shù)的定義域，然后把a(bǔ)=2代入原式中，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為該點(diǎn)的切線的斜率來(lái)求解得到切線方程。

（2）由于要是不等式恒成立，需要對(duì)原式進(jìn)行變形，將分式轉(zhuǎn)化為整式，然后構(gòu)造函數(shù)求解最值得到參數(shù)的范圍。

解：（Ⅰ）時(shí)，，

，，

又

所以切線方程為              ………6分

（Ⅱ）1°當(dāng)時(shí)，，則

令，，

再令，

當(dāng)時(shí)，∴在上遞減，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴，所以在上遞增，，

所以

2°時(shí)，，則

由1°知當(dāng)時(shí)，在上遞增

當(dāng)時(shí)，，

所以在上遞增，∴

∴；

由1°及2°得：                        ………12分