Question

【題目】己知點(diǎn)，分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，若與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】;.

【解析】

連接，由三角形相似得，，進(jìn)而得出，，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

由得，，因?yàn)橹本�與橢圓相切于點(diǎn)，，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.

解：連接，由可得，

，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

由得，，

因?yàn)橹本�與橢圓相切于點(diǎn)，

所以，即，

解得，，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，

所以，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，

設(shè)直線的方程為，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值，

所以，即面積的取值范圍為.