Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

(x2-mx-m)
（1）若m=1，求函數(shù)f（x）的定義域．
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，1-

3

)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要使函數(shù)有意義，只需真數(shù)大于零，解不等式即可得函數(shù)的定義域；
（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則真數(shù)應(yīng)能取遍一切正數(shù)，只需y=x²-mx-m的判別式不小于零，即可解得m的范圍；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，1-

3

)上是增函數(shù)包含兩層含義，y=x²-mx-m在區(qū)間(-∞，1-

3

)上是減函數(shù)且x²-mx-m＞0在區(qū)間(-∞，1-

3

)上恒成立，分別利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和單調(diào)性即可解得m的范圍

解答：解：（1）若m=1，則f(x)=log

1

2

(x2-x-1)
要使函數(shù)有意義，需x²-x-1＞0，解得x∈(-∞，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)
∴若m=1，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="2arrxhf" class="MathJye">(-∞，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)．
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，則x²-mx-m能取遍一切正實(shí)數(shù)，
∴△=m²+4m≥0，即m∈（-∞，-4]∪[0，+∞）
∴若函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-4]∪[0，+∞）
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，1-

3

)上是增函數(shù)，
則y=x²-mx-m在區(qū)間(-∞，1-

3

)上是減函數(shù)且x²-mx-m＞0在區(qū)間(-∞，1-

3

)上恒成立，
∴

m

2

≥1-

3

，且（1-

3

）²-m（1-

3

）-m≥0
即m≥2-2

3

且m≤2
∴m∈[2-2

3

，2]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)定義域的求法，函數(shù)值域的意義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問(wèn)題的解法，屬基礎(chǔ)題