Question

已知一個(gè)四棱錐P-ABCD的三視圖（正視圖與側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖是帶有一條對角形的正方形）如下，E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）是否不論點(diǎn)E在何位置都有BD⊥AE，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三視圖可知PC⊥面ABCD，從而得到四棱錐P-ABCD的高為PC，底面ABCD是正方形，然后根據(jù)四棱錐P-ABCD的體積公式進(jìn)行求解即可．
（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，可證明BD⊥面PAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與面PAC內(nèi)兩相交直線垂直，連接AC，則AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C點(diǎn)，滿足定理所需條件，而E是PC上的動點(diǎn)，所以AE在平面PAC內(nèi)，從而得到結(jié)論．

解答：解：（1）由三視圖可知，PC⊥面ABCD，且PC=2，
底面ABCD是正方形，故體積Vp-ABCD=

1

3

×2×1×1=

2

3

；（6分）
（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，理由如下：（8分）
連接AC，則AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C點(diǎn)，故BD⊥面PAC，
因?yàn)镋是PC上的動點(diǎn)，所以AE在平面PAC內(nèi)，所以BD⊥AE不論E在何位置都正確．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了三視圖與立體圖形的轉(zhuǎn)化，以及體積的求解和直線與平面垂直的性質(zhì)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想、計(jì)算與推理能力，屬于基礎(chǔ)題．