Question

已知f(n)＝(2n＋7)·＋9，是否存在自然數(shù)m，使對(duì)任意n∈N，都有m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解 由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1224．猜想f(n)被36整除． 　　證 (1)n＝1時(shí)，猜想顯然成立．(2)設(shè)n＝k時(shí)，f(k)能被36整除，則n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·＋9＝3[(2k＋7)·＋9］＋18(－1)，根據(jù)假設(shè)3[2(k＋7)·＋9]被36整除，而－1是偶數(shù)，∴18(－1)能被36整除，從而f(k＋1)能被36整除．綜上所述，n∈N時(shí)，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然數(shù)中的最大數(shù)．