Question

（2012•南寧模擬）已知不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集為R，a為c的最大值，則曲線y=x³在點(diǎn)（a，b）處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（　　）

• A．

  32

  3

• B．18
• C．

  64

  3

• D．24+12

  3

Answer 1

分析：由題意求出a=2，曲線y=x³在點(diǎn)（a，b）處的切線斜率，把點(diǎn)（a，b）代入曲線y=x³可得b=8，用點(diǎn)斜式求出切線方程，再求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從而求得切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．

解答：解：不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集為R，而|x-1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1和3的距離之和，
其最小值為2，故有c≤2．
又a為c的最大值，則a=2．
由于曲線y=x³在點(diǎn)（a，b）處的切線斜率為3x²|_x=2=12，把點(diǎn)（a，b）代入曲線y=x³可得b=8，
故曲線在點(diǎn)（2，8）處的切線方程為 y-8=12（x-2），即 12x-y-16=0，
求得切線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-16）、（

4

3

，0），
故切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

1

2

×16×

4

3

=

32

3

，
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，屬于中檔題．