Question

統(tǒng)計(jì)中常用相關(guān)系數(shù)，一來衡量兩個(gè)變量x、y之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，其計(jì)算公式是r=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2 n i=1 (yi- . y )2

其中（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）是散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)，

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi試證明：r=

n i=1 xiyi-n . x . y

[ n i=1 xi2-n . x 2][ n i=1 yi2-n . y 2]

．

Answer 1

分析：利用完全平方公式和平均數(shù)的計(jì)算公式分別把分子分母展開計(jì)算即可證明．

解答：證明：∵

n

i=1

(xi-

.

x

)2=(

x

2 1

-2x1

.

x

+

.

x

2)+…+(

x

2 n

-2xn

.

x

+

.

x

2)
=(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)-2

.

x

(x1+x2+…+xn)+n

.

x

2
=

n

i=1

x

2 i

-2n

.

x

2+n

.

x

2=

n

i=1

x

2 i

-n

.

x

2．
同理

n

i=1

(yi-

.

y

)2=

n

i=1

y

2 i

-n

.

y

2．
又

n

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)=(x1-

.

x

)(y1-

.

y

)+…+(xn-

.

x

)(yn-

.

y

)
=(x1y1-x1

.

y

-y1

.

x

)+(x2y2-x2

.

y

-y2

.

x

)+…+(xnyn-xn

.

y

-yn

.

x

)+n

.

x

.

y

=

n

i=1

xiyi-n

.

x

.

y

-n

.

x

.

y

+n

.

x

.

y

=

n

i=1

xiyi-n

.

x

.

y

．
故r=

n i=1 xiyi-n . x . y

[ n i=1 x 2 i -n . x 2][ n i=1 y 2 i -n . y 2]

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握完全平方公式和平均數(shù)的計(jì)算公式是解題使得關(guān)鍵．