Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，E為棱A₁D₁中點．
（I）求二面角E-AC-B的正切值；
（II）求直線A₁C₁到平面EAC的距離．

Answer 1

分析：（I）取AD的中點H，連接EH，則EH⊥平面ABCD，過H作HF⊥AC與F，連接EF，我們可得∠EFH即為二面角E-AC-B的補角，解三角形EFH后，即可求出二面角E-AC-B的正切值；
（II）直線A₁C₁到平面EAC的距離，即A₁點到平面EAC的距離，利用等體積法，我們根據(jù)VA1-EAC=VD-A1AE，即可求出直線A₁C₁到平面EAC的距離．

解答：解：（I）取AD的中點H，連接EH，則EH⊥平面ABCD，過H作HF⊥AC與F，連接EF，
則EF在平面ABCD內的射影為HF，由三垂線定理得EF⊥AC，，
∴∠EFH即為二面角E-AC-B的補角
∵EH=a，HF=

1

4

BD=

2

4

a
∴∠tan∠EFH=

EH

HF

=

a

2 4 a

=2

2

∴二面角E-AC-B的正切值為-2

2

…6分
（II）直線A₁C₁到平面EAC的距離，即A₁點到平面EAC的距離d，…8分
∵VA1-EAC=VD-A1AE
∴S_△EAC•d=SA1AE•CD
∵EF=

EH2+FH2

=

a2+( 2 a 4 )2

=

3 2

4

a
∴S_△EAC=

1

2

•AC•EF=

1

2

•

2

a•

3 2

4

a=

3

4

a2
而SA1AE=

1

2

•

a

2

•a=

a2

4

∴

3

4

a2•d=

a2

4

•a
∴d=

a

3

∴直線A₁C₁到平面EAC的距離

a

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到平面的距離，其中（I）的關鍵是得到∠EFH即為二面角E-AC-B的補角，（II）中求點到面的距離時，等體積法是最常用的方法．