Question

【題目】證明f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

【答案】證法一：設(shè)0＜x1＜x2
則
=
∵0＜x1＜x2 ，
∴x2+x1＞0，x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是增函數(shù)
證法二：∵f（x）=﹣x2+3，
∴f′（x）=﹣2x，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是增函數(shù)
【解析】證法一：設(shè)0＜x1＜x2 ， 作差判斷f（x1）與f（x2）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是減函數(shù)．
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0恒成立，可得：f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是增函數(shù)
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．