Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明四邊形為平行四邊形得到答案.

（2）證明平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，.

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，.

因?yàn)?/span>，.所以且.

所以四邊形為平行四邊形，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）取中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

所以平面，取中點(diǎn)，連結(jié)，

則.以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

由，則，，，，，

，.平面的法向量，

設(shè)平面的法向量，由，得.

令，則，.由圖可知，

二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為.