Question

如圖，四邊形中（圖1），，中點(diǎn)為，將圖1沿直線(xiàn)折起，使二面角為（圖2）

 

（1）過(guò)作直線(xiàn)平面，且平面=，求的長(zhǎng)度。

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013112123044797775964/SYS201311212306157319758649_DA.files/image003.png">中點(diǎn)為，連接AF，EF．

∵∴AF⊥BD，

∵，∴DB²+DC²=BC²，∴△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，

∵平面，DB=2，∴EF為△BCD的中位線(xiàn)，∴EF∥CD，且EF=CD，

∴EF⊥BD，EF=，

∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，∠AFE=60°．∴△ABD為等腰直角三角形，∴AF=BD=1，

∴AE=，在直角三角形DFE中，.

(2)以F為原點(diǎn)，F(xiàn)B所在直線(xiàn)為x軸，F(xiàn)E所在直線(xiàn)為y軸，平行于EA的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由（1）及已知條件可知B（1，0，0），E(0，，0)，A(0，，)，

D（-1，0，0），C（-1，1，0）,

則=(1,-，-) ，  =(0，-1,0)，=(-1,-，-)，。

設(shè)平面ACD的法向量為

=（x，y，z），

則，

∴，y=0，

令x=，則z=-2，∴=(，0，-2)，故由公式可得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為。

考點(diǎn)：三棱錐的幾何特征，平行關(guān)系，垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何問(wèn)題中，平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離、面積、體積等的計(jì)算，是常見(jiàn)題型，基本思路是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為平面問(wèn)題，利用平面幾何知識(shí)加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計(jì)算”。通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量，可簡(jiǎn)化證明過(guò)程。