Question

（本小題滿分13分）
設(shè)是數(shù)列（）的前項(xiàng)和，，且，，．
（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；
（II）試找出一個奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng)．

Answer 1

（I）數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列
（II）若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，是數(shù)列中的第項(xiàng)．

解：（I）當(dāng)時，由已知得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150253302504.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．
所以，，．
由題設(shè)知，．當(dāng)為奇數(shù)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)．
若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，此時，由，得，，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)．
（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）