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        1. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為4,側(cè)棱長為6,Q為BB1的中點(diǎn),P∈DD1,M∈AB,N∈CD且AM=1,DN=3,(I)若PD=
          32
          ,證明:(I)D1Q∥面PMN;
          (II)若P為DD1的中點(diǎn),求面PMN與面AA1D1D所成二面角的大。
          (III)在(II)的條件下,求點(diǎn)Q到面PMN的距離.
          分析:(I)設(shè)DD1中點(diǎn)為E,連接BE,連接BD交MN于R.根據(jù)棱柱的性質(zhì),可以證出四邊形QBED1是平行四邊形,得到D1Q∥BE;用△DRN與△BRM全等,可以證出R是BD中點(diǎn),利用三角形BDE的中位線,證出PR∥BE,從而得到PR∥D1Q.最后用線面平行的判定定理,可證出D1Q∥面PMN;
          (II)分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸,建立如圖坐標(biāo)系,然后求出點(diǎn)P、M、N的坐標(biāo),可得向量
          PM
          、
          MN
          的坐標(biāo),然后再用向量數(shù)量積的方法,通過解方程組得到平面PMN的一個(gè)法向量
          n1
          =(1,2,2)
          ,再找到平面AA1D1D一個(gè)的法向量
          n2
          =(0,1,0)
          ,最后求出向量
          n1
          ,
          n2
          的夾角,從而得到面PMN與面AA1D1D所成二面角的大;
          (III)在(II)的坐標(biāo)系下,求出由點(diǎn)Q指向面PMN內(nèi)點(diǎn)P的向量
          QP
          的坐標(biāo),結(jié)合面PMN的一個(gè)法向量
          n1
          =(1,2,2)
          ,利用空間點(diǎn)到平面距離的公式,可求得Q到面PMN的距離.
          解答:解:(I)設(shè)DD1中點(diǎn)為E,連接BE,連接BD交MN于R
          ∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥DD1且BB1=DD1
          ∴D1E∥BQ且D1E=BQ
          ∴四邊形QBED1是平行四邊形,可得D1Q∥BE
          在正方形ABCD中,BM∥DN且BM=DN=3
          ∴△DRN≌△BRM⇒DR=BR
          PD=
          3
          2
          =
          1
          2
          DE

          ∴△DBE中,PR是中位線
          ∴PR∥BE⇒PR∥D1Q
          ∵PR?平面PMN,D1Q?平面PMN,
          ∴D1Q∥面PMN;
          (II)分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸,建立如圖坐標(biāo)系,
          則P(0,0,3),M(4,1,0),N(0,3,0)
          設(shè)平面PMN的法向量為
          n1
          =(x,y,z)
          ,根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為零,
          n1
          PM
          =4x+y-3z=0
          n1
          MN
          =-4x+2y=0
          ,取x=1,得y=z=2
          n1
          =(1,2,2)

          ∵平面AA1D1D的法向量為
          n2
          =(0,1,0)

          ∴cos<
          n1
          n2
          >=
          n1
          n2
          |n1|
          |n2|
          =
          1×0+2×1+2×0
          12+22+22
          •1
          =
          2
          3

          ∴面PMN與面AA1D1D所成二面角的大小為arccos
          2
          3

          (III)∵P(0,0,3),Q(4,4,3)
          QP
          =(-4,-4,0)

          根據(jù)點(diǎn)到平面距離公式,得Q到面PMN的距離為
          d=
          |QP
          n1|
          |n1|
          =|
          -4×1+(-4)×2+0×2
          3
          | =3

          所以點(diǎn)Q到面PMN的距離為3.
          點(diǎn)評:本題以求二面角的大小和求點(diǎn)到平面的距離為例,著重考查了線面平行的證明、空間平面與平面所成角的公式和空間點(diǎn)到平面距離公式等知識點(diǎn),屬于難題.
          練習(xí)冊系列答案
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          2
          2

          (1)A1C與底面ABCD所成角的大;
          (2)若AC與BD的交點(diǎn)為M,點(diǎn)T在CC1上,且MT⊥BE,求MT的長.

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          (2,2,5)
          (2,2,5)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD邊長為1,高AA1=
          2
          ,它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,那么球的半徑是
           

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          如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1與它的側(cè)視圖(或稱左視圖),E是DD1上一點(diǎn),AE⊥B1C.
          (1)求證AE⊥平面B1CD;
          (2)求三棱錐E-ACD的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2006•廣州模擬)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn),點(diǎn)F為BD1的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:EF⊥BD1;
          (Ⅱ)求四面體D1-BDE的體積.

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          同步練習(xí)冊答案