Question

如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面垂直，P為AE的中點(diǎn)，N是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PN與平面PBC線面所成角為

π

4

，那么，動(dòng)點(diǎn)N在平面ABCD內(nèi)的軌跡是（　　）

A．一線段

B．一段圓弧

C．一個(gè)橢圓

D．一段拋物線

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，確定向量PN的坐標(biāo)與平面PBC法向量的坐標(biāo)，利用PN與平面PBC線面所成角為

π

4

，即可求得動(dòng)點(diǎn)N在平面ABCD內(nèi)的軌跡．

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長為2，則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，1，1）
設(shè)N（x，y，0），則

PN

=(x，y-1，1)，

PA

=(0，-1，-1)
∴正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面垂直，P為AE的中點(diǎn)，
∴PA⊥平面PBC
∴

PA

是平面PBC的法向量
∵PN與平面PBC線面所成角為

π

4

，
∴cos

π

4

=

PA • PN

| PA || PN |

∴

2

2

=

1-y+1

x2+(y-1)2+1 × 2

∴x²=2-2y（y＞0）
∴動(dòng)點(diǎn)N在平面ABCD內(nèi)的軌跡是一段拋物線，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查空間向量的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．