Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線A₁B和平面A₁B₁CD所成角的余弦值大小為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  6

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：連接B₁C交BC₁于點(diǎn)O，連接A₁O，證明BC₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影，所以∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角，在Rt△A₁BO中求解即可．

解答：解：連接B₁C交BC₁于點(diǎn)O，連接A₁O．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因?yàn)锳₁B₁⊥平面BCC₁B₁．
所以A₁B₁⊥BC₁．
又因?yàn)锽C₁⊥B₁C，BC₁∩B₁C=O
所以BC₁⊥平面A₁B₁CD 
所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影，
所以∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為1，
所以在△A₁BO中，A₁B=

2

，OB=

2

2

，
所以sin∠BA₁O=

1

2

，
所以cos∠BA₁O=

3

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面垂直關(guān)系的判斷，線面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．